定理 2.3.3（一致收敛下的积分稳定性）

设 (f_n)_{n \geq n_0} 是定义在区间 [a, b] 上的一列连续函数，即 f_n \in \mathcal{C}^0([a,b], \mathbb{K})，并且该函数列在 [a,b] 上一致收敛于一个函数 f。那么：

\lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(x)\,dx = \int_a^b \lim_{n \to +\infty} f_n(x)\,dx.

换句话说：

\lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx.

简要解释：

这个定理是分析学中非常重要的结果，它说明了：当函数列一致收敛时，积分与极限可以交换顺序。

核心思想：

我们常常关心一个问题：
如果 f_n \to f，那么 \int f_n \to \int f 吗？

答案是：不一定，除非有更强的条件。而这个定理告诉我们：在一致收敛的条件下，积分是“稳定”的，即极限可以进入积分号内。

为什么成立？

关键在于一致收敛的强性质：

  • 一致收敛意味着：对任意 \varepsilon > 0，存在 N，使得对所有 n \geq N 和所有 x \in [a,b]，都有 |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon。
  • 因此，函数 f_n 和 f 在整个区间上“整体地”接近。
  • 积分是“面积”的累积，所以当被积函数处处接近时，它们的积分也会接近。

更具体地：

\left| \int_a^b f_n(x)\,dx - \int_a^b f(x)\,dx \right| = \left| \int_a^b (f_n(x) - f(x))\,dx \right| \leq \int_a^b |f_n(x) - f(x)|\,dx \leq (b-a)\cdot \|f_n - f\|_\infty.

由于 \|f_n - f\|_\infty \to 0，右边趋于 0，因此积分也趋于 0。

注意事项：

  • 如果只是逐点收敛，不能保证积分收敛到极限函数的积分。
    • 例如：令 f_n(x) = n x^{n-1} 在 [0,1] 上，则 f_n(x) \to 0 对所有 x \in [0,1)，但在 x=1 处 f_n(1)=n \to \infty，且 \int_0^1 f_n(x)\,dx = 1，不趋于 0。
    • 所以 \int f_n \not\to \int f，尽管逐点收敛。

总结：

该定理说明：若连续函数列在闭区间上一致收敛，则其积分也收敛到极限函数的积分。这是积分理论中的基本工具，广泛用于级数求和、参数积分、傅里叶分析等领域，是“极限可进入积分号”的重要依据之一。